Question

如圖，長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AA₁=1，AD=2，E是BC的中點
（1）求證：平面A₁AE⊥D₁DE平面；
（2）求三棱錐A-D₁DE的體積；
（3）求點A₁到平面D₁DE的距離．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,平面與平面垂直的判定,點、線、面間的距離計算

專題：計算題,證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由AE⊥ED，AE⊥DD₁證明平面A₁AE⊥D₁DE平面；
（2）確定底面D₁DE與高AE，求三棱錐A-D₁DE的體積；
（3）點A₁到平面D₁DE的距離等于點A到平面D₁DE的距離．

解答： 解：（1）證明：在矩形ABCD中，E是BC的中點，AB=1，AD=2，
則∠AEB=∠DEC=45°
則AE⊥ED，
又∵AE⊥DD₁；
則AE⊥平面D₁DE；
∴平面A₁AE⊥平面D₁DE；
（2）AE=ED=

2

，
S△D₁DE=

1

2

•

2

•1=

2

2

，
h=

2

，
V=

1

3

•S•h=

1

3

•

2

2

•

2

=

1

3

，
（3）∵AA₁∥平面D₁DE，
∴點A₁到平面D₁DE的距離等于點A到平面D₁DE的距離；
∴點A₁到平面D₁DE的距離為

2

．

點評：本題考查了面面垂直的判定及三棱錐的體積求法，同時考查了轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題．