Question

在如圖所示的幾何體中，PO⊥平面ABCD，點O在AB上，EA∥PO，四邊形ABCD為直角梯形，BC⊥AB，PO=OB=BC=CD，EA=AO=

1

2

CD．
（Ⅰ）求證：PE⊥平面PBC；
（Ⅱ）求二面角E-BD-A的余弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由已知條件推導出點A，B，P，E共面，BC⊥平面PEAB，從而得到PE⊥BC，由此能證明PE⊥平面PBC．
（Ⅱ）建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角E-BD-A的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：EA∥OP，AO?平面ABP，
∴點A，B，P，E共面，
∵PO⊥平面ABCD，PO?平面PEAB，
∴平面PEAB∩平面ABCD=AB，
∴BC⊥平面PEAB，∴PE⊥BC，
取OP中點F，連接EF，
∵EA=AO=

1

2

CD，OP=CD，
∴EA=OF，
∴EFOA是平行四邊形，
∵PO⊥平面ABCD，
∴OP⊥AB，
∴EFOA是正方形，
∴EF⊥PF，
∵EF=PF，
∴∠EPF=45°，
∵PO=OB，OP⊥AB，
∴∠OPB=45°，
∴∠EPB=90°，
∴PE⊥PB
∴PE⊥平面PBC．
（Ⅱ）解：由已知知四邊形BCDO是正方形，OD、OB、OP兩兩垂直，
如圖建立空間直角坐標系，設DC=1，
則B（0，1，0），D（1，0，0），E（0，-0.5，0.5），
設平面BDE的一個法向量為

n1

=（x，y，z），

BD

=（1，-1，0），

BE

=（0，-1.5，0.5），∴

x-y=0 -1.5y+0.5z=0

，
取y=1，則x=1，z=3，從而

n1

=（1，1，3）．
取平面ABD的一個法向量為

n2

=（0，0，1）．
cos＜

n1

，

n2

＞=

3 11

11

，
故二面角E-BD-A的余弦值為

3 11

11

．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．