Question

如圖，一個(gè)小球從 M處投入，通過(guò)管道自上而下落A或B或C．已知小球從每個(gè)叉口落入左右兩個(gè)管道的可能性是相等的．某商家按上述投球方式進(jìn)行促銷活動(dòng)，若投入的小球落到A，B，C，則分別設(shè)為l，2，3等獎(jiǎng)．
（Ⅰ）已知獲得l，2，3等獎(jiǎng)的折扣率分別為50%，70%，90%．記隨變量ξ為獲得k（k=1，2，3）等獎(jiǎng)的折扣率，求隨機(jī)變量ξ的分布列及期望E_ξ；
（Ⅱ）若有3人次（投入l球?yàn)閘人次）參加促銷活動(dòng)，記隨機(jī)變量η為獲得1等獎(jiǎng)或2等獎(jiǎng)的人次，求P（η=2）和η的期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）由題意求出ξ的分布列，由此能求出Εξ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知獲得1等獎(jiǎng)或2等獎(jiǎng)的概率為

3

16

+

3

8

=

9

16

，由題意得η～B（3，

9

16

），由此能求出P（η=2）和Eη．

解答： （Ⅰ）解：由題意得ξ的分布列為

ξ	50%	70%	90%
p	3 16	3 8	7 16

則Εξ=

3

16

×50%+

3

8

×70%+

7

16

90%=

3

4

．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知獲得1等獎(jiǎng)或2等獎(jiǎng)的概率為

3

16

+

3

8

=

9

16

，
由題意得η～B（3，

9

16

），
P（η=2）=

C

2 3

(

9

16

)2(1-

9

16

)=

1701

4096

，
Eη=3×

9

16

=

27

16

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，在歷年高考中都是必考題型之一．