Question

2．已知拋物線C：x²=4y，過點(diǎn)P（t，0）（其中t＞0）作互相垂直的兩直線l₁，l₂，直線l₁與拋物線C相切于點(diǎn)Q（在第一象限內(nèi)），直線l₂與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）當(dāng)t=1時(shí)，求直線l₁的方程；
（Ⅱ）求證：直線l₂恒過定點(diǎn)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)t=1時(shí)，設(shè)直線l₁的斜率為k，則直線l₁的方程為y=k（x-1），代入拋物線的方程，運(yùn)用直線和拋物線相切的條件：判別式為0，即可得到所求直線的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l₁的斜率為k，則l₁直線的方程為y=k（x-t），代入拋物線的方程，運(yùn)用直線和拋物線相切的條件：判別式為0，可得t=k，再由兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，求得直線l₂的斜率及方程，進(jìn)而得到定點(diǎn)．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)t=1時(shí)，設(shè)直線l₁的斜率為k，
則直線l₁的方程為y=k（x-1），
與拋物線方程聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x^2}=4y\\ y=k（x-1）\end{array}\right.$可得：x²-4kx+4k=0，
由于直線l₁與拋物線C相切，所以△=16k²-16k=0，
求得：k=0或k=1，根據(jù)點(diǎn)Q在第一象限內(nèi)，所以k=1，
從而直線l₁的方程為x-y-1=0；
證明：（Ⅱ）設(shè)直線l₁的斜率為k，則l₁直線的方程為y=k（x-t），
與拋物線方程聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x^2}=4y\\ y=k（x-t）\end{array}\right.$可得：x²-4kx+4kt=0，
由于直線l₁與拋物線C相切，所以△=16k²-16kt=0，解得：t=k，
故Q點(diǎn)坐標(biāo)為（2t，t²），所以直線l₁的斜率為$\frac{{{t^2}-0}}{2t-t}=t$，
又l₁⊥l₂，故設(shè)l₂的方程為：$y=-\frac{1}{t}（x-t）$，即$y=-\frac{1}{t}x+1$，
則直線l₂恒過定點(diǎn)（0，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線和直線相切的條件，注意聯(lián)立方程運(yùn)用判別式為0，考查兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，以及直線方程運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．