Question

8．中心在原點，一焦點為F₁（0，c）的橢圓被直線y=3x-2截得的弦的中點橫坐標是$\frac{1}{2}$，則此橢圓的離心率為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{5}}}{3}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 由題意設橢圓的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$=1（a＞b＞0）；從而聯(lián)立方程化簡可得（9b²+a²）x²-12b²x+4b²-a²b²=0，從而利用韋達定理及中點坐標公式可得$\frac{12^{2}}{9^{2}+{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$×2，從而解得．

解答 解：由題意，設橢圓的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$=1（a＞b＞0）；
聯(lián)立方程可得，
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{^{2}}=1}\\{y=3x-2}\end{array}\right.$，
消y化簡可得，
（9b²+a²）x²-12b²x+4b²-a²b²=0，
∵截得的弦的兩個端點為（x₁，y₁），（x₂，y₂）；
∴x₁+x₂=$\frac{12^{2}}{9^{2}+{a}^{2}}$，
又∵截得的弦的中點橫坐標是$\frac{1}{2}$，
∴x₁+x₂=$\frac{12^{2}}{9^{2}+{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$×2，
即12b²=9b²+a²，
即12（a²-c²）=9（a²-c²）+a²，
故2a²=3c²，
故e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{2}{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$；
故選B．

點評 本題考查了圓錐曲線與直線的位置關系的應用及待定系數(shù)法的應用，同時考查了整體思想的應用．