設(shè)f（x）=（a≠0），令a1=1，an+1=f（an），又令bn=anan+1，n∈N*．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)的和．
【答案】分析：（1）根據(jù)題設(shè)條件，先求出a1，a2，a3，a4，然后觀察它們的規(guī)律，猜想出an，再用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．
（2）由bn=anan+1=，可用裂項(xiàng)法進(jìn)行求和．
解答：解：（1）a1=1，，，，由此猜想．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)猜想．
①當(dāng)n=1時(shí)，，等式成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立．即．
當(dāng)n=k+1時(shí)，，等式成立．由①②知．
（2）∵bn=anan+1=，
數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)的和=b1+b2+…+bn=
=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求法和數(shù)列求和，解題時(shí)要注意數(shù)學(xué)歸納法和裂項(xiàng)求和法的應(yīng)用．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

3、設(shè)f（x）在（a，b）內(nèi)有定義，x0∈（a，b），當(dāng)x＜x0時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x＞x0時(shí)，f′（x）＜0．則x0是（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

對(duì)于函數(shù)f（x），其定義域?yàn)镈，若任取x1、x2∈D，且x1≠x2，若f（
x1+x2
2
）＞
1
2
[f（x1）+f（x2）]，則稱f（x）為定義域上的凸函數(shù)．
（1）設(shè)f（x）=ax2（a＞0），試判斷f（x）是否為其定義域上的凸函數(shù)，并說(shuō)明原因；
（2）若函數(shù)f（x）=㏒ax（a＞0，且a≠1）為其定義域上的凸函數(shù)，試求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=xlnx（x＞0），g（x）=-x+2，
（I）求函數(shù)f（x）在點(diǎn)M（e，f（e））處的切線方程；
（II）設(shè)F（x）=ax2-（a+2）x+f′（x）（a＞0），討論函數(shù)F（x）的單調(diào)性；
（III）設(shè)函數(shù)H（x）=f（x）+g（x），是否同時(shí)存在實(shí)數(shù)m和M（m＜M），使得對(duì)每一個(gè)t∈[m，M]，直線y=t與曲線y=H(x)(x∈[
1e
，e])都有公共點(diǎn)？若存在，求出最小的實(shí)數(shù)m和最大的實(shí)數(shù)M；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)f（x）=4x2-1，g（x）=-2x+1
（1）若關(guān)于x的方程f（2x）=2g（x）+m有負(fù)實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍；
（2）若F（x）=af（x）+bg（x）（a，b都為常數(shù)，且a＞0）
①證明：當(dāng)0≤x≤1時(shí)，F(xiàn)（x）的最大值是|2a-b|+a；
②求證：當(dāng)0≤x≤1時(shí)，F(xiàn)（x）+|2a-b|+a≥0．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)f（x）=ax（a＞0且a≠1），g（x）為f（x）的反函數(shù)．
（1）當(dāng)a=e（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）時(shí)，求函數(shù)y=f（x）-x的最小值；
（2）試證明：當(dāng)f（x）與g（x）的圖象的公切線為一、三象限角平分線時(shí)，a=e
1e
．

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