Question

4．設函數(shù)f（x）在（m，n）上的導函數(shù)為g（x），x∈（m，n），g（x）若的導函數(shù)小于零恒成立，則稱函數(shù)f（x）在（m，n）上為“凸函數(shù)”．已知當a≤2時，$f（x）=\frac{1}{6}{x^2}-\frac{1}{2}a{x^2}+x$，在x∈（-1，2）上為“凸函數(shù)”，則函數(shù)f（x）在（-1，2）上結(jié)論正確的是（　　）

• A． 既有極大值，也有極小值
• B． 有極大值，沒有極小值
• C． 沒有極大值，有極小值
• D． 既無極大值，也沒有極小值

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)恒成立，得出m的值，利用函數(shù)單調(diào)性得出結(jié)果．

解答 解：$g（x）=f'（x）=\frac{1}{2}{x^2}-ax+1$，
由已知得g′（x）=x-a＜0，當x∈（-1，2）時恒成立，
故a≥2，又已知a≤2，故a=2，
此時由f′（x）=0，得：x₁=2-$\sqrt{2}$，x₂=2+$\sqrt{2}$∉（-1，2），
當x∈（-1，2-$\sqrt{2}$）時，f′（x）＞0；當x∈（2-$\sqrt{2}$，2）時，f′（x）＜0，
所以函數(shù)f（x）在（-1，2）有極大值，沒有極小值，
故選：B．

點評 本題主要考查導數(shù)和函數(shù)知識及利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，屬于基礎知識，基本運算的考查．