(本小題滿分14分)
已知函數(shù)f(x)=m(x-1)2-2x+3+lnx(m≥1).
(Ⅰ)當時,求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,3]上的極小值;
(Ⅱ)求證:函數(shù)f(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間[a,b];
(Ⅲ)是否存在實數(shù)m,使曲線C:y=f(x)在點P(1,1)處的切線l與曲線C有且只有一個公共點?若存在,求出實數(shù)m的值,若不存在,請說明理由.
解:(Ⅰ)(x>0).
當時,,令,得x1=2,x2=.
f(x),的變化情況如下表:
x |
(0,) |
(,2) |
2 |
(2,+∞) |
|
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
|
f(x) |
單調(diào)遞增 |
極大值 |
單調(diào)遞減 |
極小值 |
單調(diào)遞增 |
所以,當x=2時,函數(shù)f(x)取到極小值,且極小值為f(2)=ln2-.………………………… 4分
(Ⅱ)令=0,得mx2-(m+2)x+1=0. (*)
因為△=(m+2)2-4m=m2+4>0,所以方程(*)存在兩個不等實根,記為a,b(a<b).
因為m≥1,所以
所以a>0,b>0,即方程(*)有兩個不等的正根,因此<0的解為(a,b).
故函數(shù)f(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間.………………………… 8分
(Ⅲ)因為,所以曲線C:y=f(x)在點P(1,1)處的切線l為y=-x+2.
若切線l與曲線C只有一個公共點,則方程m(x-1)2-2x+3+lnx=-x+2有且只有一個實根.
顯然x=1是該方程的一個根.
令g(x)=m(x-1)2-x+1+lnx,則.
當m=1時,有≥0恒成立,所以g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
所以x=1是方程的唯一解,m=1符合題意.
當m>1時,令=0,得x1=1,x2=,則x2∈(0,1),易得g(x)在x1處取到極小值,在x2處取到極大值.
所以g(x2)>g(x1)=0,又當x→0時,g(x)→-∞,所以函數(shù)g(x)在(0,)內(nèi)也有一個解,即當m>1時,不合題意.
綜上,存在實數(shù)m,當m=1時,曲線C:y=f(x)在點P(1,1)處切線l與C有且只有一個公共點 14分
【解析】略
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
3 |
π |
4 |
π |
4 |
π |
2 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
(本小題滿分14分)設橢圓C1的方程為(a>b>0),曲線C2的方程為y=,且曲線C1與C2在第一象限內(nèi)只有一個公共點P。(1)試用a表示點P的坐標;(2)設A、B是橢圓C1的兩個焦點,當a變化時,求△ABP的面積函數(shù)S(a)的值域;(3)記min{y1,y2,……,yn}為y1,y2,……,yn中最小的一個。設g(a)是以橢圓C1的半焦距為邊長的正方形的面積,試求函數(shù)f(a)=min{g(a), S(a)}的表達式。
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科目:高中數(shù)學 來源:2011年江西省撫州市教研室高二上學期期末數(shù)學理卷(A) 題型:解答題
(本小題滿分14分)
已知=2,點()在函數(shù)的圖像上,其中=.
(1)證明:數(shù)列}是等比數(shù)列;
(2)設,求及數(shù)列{}的通項公式;
(3)記,求數(shù)列{}的前n項和,并證明.
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科目:高中數(shù)學 來源:2015屆山東省威海市高一上學期期末考試數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
(本小題滿分14分)
某網(wǎng)店對一應季商品過去20天的銷售價格及銷售量進行了監(jiān)測統(tǒng)計發(fā)現(xiàn),第天()的銷售價格(單位:元)為,第天的銷售量為,已知該商品成本為每件25元.
(Ⅰ)寫出銷售額關于第天的函數(shù)關系式;
(Ⅱ)求該商品第7天的利潤;
(Ⅲ)該商品第幾天的利潤最大?并求出最大利潤.
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科目:高中數(shù)學 來源:2011-2012學年廣東省高三下學期第一次月考文科數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
(本小題滿分14分)已知的圖像在點處的切線與直線平行.
⑴ 求,滿足的關系式;
⑵ 若上恒成立,求的取值范圍;
⑶ 證明:()
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