Question

4．在△ABC中，D為BC邊的中點，且AB=6，AC=4，AD=$\sqrt{10}$，求BC邊的長及△ABC的面積．

Answer 1

分析 作輔助線構建平行四邊形ABEC，然后根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等及余弦定理可求cos∠AEC，DC，進而可求BC的值，再利用余弦定理可求cos∠BAC，利用同角三角函數(shù)基本關系式可求sin∠BAC，利用三角形面積公式即可計算得解．

解答 解：延長AD到E，使DE=AD=$\sqrt{10}$，連接BE，CE．
∵D是BC的中點，
∴CD=BD，
∴四邊形ABEC是平行四邊形，
∴AB∥CE，EB=CA=4，EC=AB=6，AE=2$\sqrt{10}$，
∴在△ACE中，由余弦定理可得：cos∠AEC=$\frac{A{E}^{2}+C{E}^{2}-A{C}^{2}}{2AE•EC}$=$\frac{40+36-16}{2×2\sqrt{10}×6}$=$\frac{\sqrt{10}}{4}$，
∴在△DEC中，由余弦定理可得：DC=$\sqrt{D{E}^{2}+C{E}^{2}-2DE•EC•cos∠AEC}$
=$\sqrt{10+36-2×\sqrt{10}×6×\frac{\sqrt{10}}{4}}$=4，
∴BC=2DC=8，
∵cos∠BAC=$\frac{A{B}^{2}+A{C}^{2}-B{C}^{2}}{2AB•AC}$=$\frac{36+16-64}{2×6×4}$=-$\frac{1}{4}$，
∴sin∠BAC=$\sqrt{1-co{s}^{2}∠BAC}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•AB•sin∠BAC=$\frac{1}{2}$×6×4×$\frac{\sqrt{15}}{4}$=3$\sqrt{15}$．
綜上所述，BC的長度為8，△ABC的面積是3$\sqrt{15}$．

點評 本題主要考查了余弦定理的應用、平行四邊形的判定與性質，三角形面積公式在解三角形中的應用，考查了數(shù)形結合思想和轉化思想，屬于中檔題．