Question

14．已知數列{a_n}的前n項和S_n滿足S_n=2a_n-a₁，且$\sqrt{{a}_{3}}$是a₁，a₂的等比中項．
（1）求a₁；
（2）設b_n=$\frac{1}{lo{g}_{2}{a}_{n}•lo{g}_{2}{a}_{n+1}}$，數列{b_n}的前n項和為T_n，若T_n=$\frac{19}{20}$，求n的值．

Answer 1

分析 （1）S_n=2a_n-a₁，當n≥2時，足S_n-1=2a_n-1-a₁，兩式相減a_n=2a_n-1，由$\sqrt{{a}_{3}}$是a₁，a₂的等比中項．得4a₁=a₁•2a₁，求得a₁=2，
（2）由（1）可知，求得數列{a_n}的通項公式，代入求得數列{b_n}通項公式，b_n=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，利用“裂項法”求得T_n=$\frac{n}{n+1}$，由T_n=$\frac{19}{20}$，解得n的值．

解答 解：（1）S_n=2a_n-a₁，
當n≥2時，足S_n-1=2a_n-1-a₁，
兩式相減得：a_n=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-1，（n≥2），
∵$\sqrt{{a}_{3}}$是a₁，a₂的等比中項，
∴a₃=a₁•a₂，
∴4a₁=a₁•2a₁，
解得：a₁=2，
∴a₁=2，
（2）由（1）可知：數列{a_n}是以2為首項，2為公比的等比數列，
a_n=2•2^n-1=2ⁿ，
∴b_n=$\frac{1}{lo{g}_{2}{a}_{n}•lo{g}_{2}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
數列{b_n}的前n項和為T_n=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
=1-$\frac{1}{n+1}$，
=$\frac{n}{n+1}$，
T_n=$\frac{n}{n+1}$=$\frac{19}{20}$，
解得n=19，
n的值19．

點評 本題考查求數列的通項公式及前n項和公式，等比數列等比中項的性質，“裂項法”求數列的前n項和，屬于中檔題．