Question

20．如圖，△ABC中，O是BC的中點，AB=AC，AO=2OC=2．將△BAO沿AO折起，使B點與圖中B'點重合．
（1）求證：AO⊥平面B'OC；
（2）當(dāng)三棱錐B'-AOC的體積取最大時，求二面角A-B'C-O的余弦值；
（3）在（2）的條件下，試問在線段B'A上是否存在一點P，使CP與平面B'OA所成的角的正弦值為$\frac{{\sqrt{5}}}{3}$？證明你的結(jié)論，并求AP的長．

Answer 1

分析 （1）證明AO⊥OB'，AO⊥OC，然后證明AO⊥平面B'OC；
（2）在平面B'OC內(nèi)，作B'D⊥OC于點D，當(dāng)D與O重合時，三棱錐B'-AOC的體積最大，過O點作OH⊥B'C于點H，連AH，說明∠AHO即為二面角A-B'C-O的平面角．在三角形AOH中求解二面角A-B₁C-O的余弦值．
（3）連接OP，說明OC⊥平面B'OA，CP與平面B'OA所成的角為∠CPO，證明CP⊥AB′，然后求解即可．

解答 解：（1）證明：∵AB=AC且O是BC中點，
∴AO⊥BC即AO⊥OB'，AO⊥OC，
又∵OB'∩OC=O，∴AO⊥平面B'OC；…（3分）
（2）在平面B'OC內(nèi)，作B'D⊥OC于點D，
則由（Ⅰ）可知B'D⊥OA
又OC∩OA=O，∴B'D⊥平面OAC，
即B'D是三棱錐B'-AOC的高，
又B'D≤B'O，所以當(dāng)D與O重合時，三棱錐B'-AOC的體積最大，
過O點作OH⊥B'C于點H，連AH，
由（Ⅰ）知AO⊥平面B'OC，
又B'C⊆平面B'OC，∴B'C⊥AO∵AO∩OH=O，∴B'C⊥平面AOH，
∴B'C⊥AH∴∠AHO即為二面角A-B'C-O的平面角．
在$R{t_{△AOH}}中，AO=2，OH=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，∴$AH=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，
∴$cos∠AHO=\frac{OH}{AH}=\frac{1}{3}$，
故二面角A-B₁C-O的余弦值為$\frac{1}{3}$…（7分）
（3）連接OP，在（2）的條件下，易證OC⊥平面B'OA，
∴CP與平面B'OA所成的角為∠CPO，
∴$sin∠CPO=\frac{OC}{CP}=\frac{{\sqrt{5}}}{3}$∴$CP=\frac{3}{{\sqrt{5}}}$
又在△ACB′中，$sin∠A{B^'}C=\frac{{\frac{3}{{\sqrt{2}}}}}{{\sqrt{5}}}=\frac{3}{{\sqrt{10}}}=\frac{CP}{{\sqrt{2}}}$，
∴CP⊥AB′，
∴${B^'}P=\sqrt{{{（{\sqrt{2}}）}^2}-C{P^2}}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，
∴$AP=\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$…（12分）

點評 本題考查直線與平面垂直，二面角的平面鏡以及直線與平面所成角，考查空間想象能力以及計算能力．