Question

18．已知y=asinx+bcosx+c的圖象有一個最低點（$\frac{11π}{6}$，1），如果圖象各點縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來的$\frac{3}{π}$倍，再向左平移1個單位，可得到y(tǒng)=f（x）的圖象．又直線y=3與y=f（x）每相鄰兩個交點的距離均為3．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）若y=f（x）在[$\frac{π}{6}$，l]上單調(diào)，求l的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用輔助角公式對函數(shù)解析式化簡整理，把最低點坐標(biāo)代入求得φ和a，b和c的關(guān)系，表示出函數(shù)的解析式，把x=$\frac{11π}{6}$代入即可求得a，b和c的關(guān)系，結(jié)合直線y=3與y=f（x）每相鄰兩個交點的距離均為3求得c，則函數(shù)解析式可求；
（2）求出函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間，結(jié)合y=f（x）在[$\frac{π}{6}$，l]上單調(diào)即可求得l的最大值．

解答 解：（1）y=asinx+bcosx+c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$sin（x+α）+c，其中α滿足tanα=$\frac{a}$，
∵（$\frac{11π}{6}$，1）是圖象上的最低點，
∴$\frac{11π}{6}$+α=2kπ-$\frac{π}{2}$（k∈Z），且-$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$+c=1．
則：α=2kπ-$\frac{7π}{3}$，且$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=c-1．
∴y=asinx+bcosx+c=（c-1）sin（x+2kπ-$\frac{7π}{3}$）+c=（c-1）sin（x-$\frac{π}{3}$）+c，
將上述函數(shù)圖象上的點橫坐標(biāo)縮短到原來的$\frac{3}{π}$（縱坐標(biāo)不變），得y=（c-1）sin（$\frac{π}{3}$x-$\frac{π}{3}$）+c，
再向左平移1個單位，得y=（c-1）sin[$\frac{π}{3}$（x+1）-$\frac{π}{3}$]+c=（c-1）sin$\frac{π}{3}$x+c．
又直線y=3與y=f（x）每相鄰兩個交點的距離均為3，可得c=3．
∴f（x）=2sin$\frac{π}{3}x$+3；
（2）∵f（x）=2sin$\frac{π}{3}x$+3；
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤\frac{π}{3}x≤\frac{π}{2}+2kπ$，得-$\frac{3}{2}+6k≤x≤\frac{3}{2}+6k，k∈Z$．
當(dāng)k=0時，函數(shù)的增區(qū)間為[$-\frac{3}{2}，\frac{3}{2}$]，
∵$\frac{π}{6}∈$[$-\frac{3}{2}，\frac{3}{2}$]，
∴若y=f（x）在[$\frac{π}{6}$，l]上單調(diào)，則l的最大值為$\frac{3}{2}$．

點評 本題主要考查了輔助角公式的應(yīng)用，三角函數(shù)的圖象變換，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律等知識的綜合運用，要求考生具備一定的推理論證的能力，屬于中檔題．