Question

已知A、B、C為△ABC的三內角，且其對邊分別為a、b、c，若cosBcosC-sinBsinC=

1

2

．
（Ⅰ）求A； 
（Ⅱ）若a=2

3

，b+c=4，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據兩角和的余弦函數公式化簡已知的等式，得到cos（B+C）的值，由B+C的范圍，利用特殊角的三角函數值即可求出B+C的度數，然后由三角形的內角和定理求出A的度數；
（Ⅱ）根據余弦定理表示出a的平方，配方變形后，把a，b+c及cosA的值代入即可求出bc的值，然后由bc及sinA的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．

解答：解：（Ⅰ）∵cosBcosC-sinBsinC=

1

2

，
∴cos(B+C)=

1

2

又∵0＜B+C＜π，∴B+C=

π

3

，
∵A+B+C=π，∴A=

2π

3

．
（Ⅱ）由余弦定理a²=b²+c²-2bc•cosA
得 (2

3

)2=(b+c)2-2bc-2bc•cos

2π

3

即：12=16-2bc-2bc•(-

1

2

)，∴bc=4，
∴S△ABC=

1

2

bc•sinA=

1

2

•4•

3

2

=

3

．

點評：此題考查了三角函數的恒等變換及化簡求值，余弦定理及三角形的面積公式，熟練掌握公式及定理是解本題的關鍵．