Question

【題目】各項為正數的數列{an}的前n項和為Sn ， 且滿足：Sn= an2+ an+ （n∈N*）
（1）求an
（2）設數列{ }的前n項和為Tn ， 證明：對一切正整數n，都有Tn＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，

當n=1時， ，解得a1=1．

當n≥2時， ；

∴an=Sn﹣Sn﹣1= + an﹣ an﹣12﹣ an﹣1．

整理得：（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）=0，

又∵數列{an}各項為正數，∴當n≥2時，an﹣an﹣1=2，

故數列{an}為首項為1，公差為2的等差數列．

∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1．

（2）證明：可知Tn= =

∵ ，

∴

=

=1+ ﹣ ＜

【解析】（1）分別把n=1和n=n﹣1代入條件式計算a1和遞推公式，得出{an}為等差數列，從而得出通項公式；（2） = ＜ ，再使用列項求和得出結論．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數列的前n項和的相關知識，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系，以及對數列的通項公式的理解，了解如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．