Question

3．由甲、乙、丙3人組成的工作小組共獲得了4萬元獎金，現(xiàn)在他們決定用如下方法分配獎金：甲乙二人格子隨機從獎金中取出1萬元或2萬元作為自己的獎金，他們?nèi)〉?萬元的概率均為P₁，取得2萬元的概率均為P₂，剩下的獎金全部歸丙．
（1）若P₁=P₂=$\frac{1}{2}$，求丙獲得1萬元獎金的概率；
（2）若甲、乙、丙獲得獎金的期望值相等，求P₁，P₂的值．

Answer 1

分析 （1）事件丙獲得1萬元為事件A，若A發(fā)生，則甲乙二人獲得的金額分別為1萬元，2萬元，或2萬元，1萬元，由此能求出丙獲得1萬元獎金的概率．
（2）甲、乙1萬元和2萬元獎金的概率為p₁，p₂，甲、乙獲得的獎金數(shù)額的數(shù)學期望值為p₁+2p₂，丙獲得獎金數(shù)額的數(shù)學期望為$2{{p}_{1}}^{2}+2{p}_{1}{p}_{2}$，由此列出方程組，能求出P₁，P₂的值．

解答 解：（1）甲、乙二人得1萬元和2萬元的概率都是$\frac{1}{2}$，
事件丙獲得1萬元為事件A，
若A發(fā)生，則甲乙二人獲得的金額分別為1萬元，2萬元，或2萬元，1萬元，
∴丙獲得1萬元獎金的概率：
P（A）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$．
（2）∵甲、乙1萬元和2萬元獎金的概率為p₁，p₂，
∴甲、乙獲得的獎金數(shù)額的數(shù)學期望值為p₁+2p₂，
丙獲得獎金數(shù)額的數(shù)學期望為$2{{p}_{1}}^{2}+2{p}_{1}{p}_{2}$，
依題意，得$\left\{\begin{array}{l}{{p}_{1}+{p}_{2}=1}\\{{p}_{1}+2{p}_{2}=2{{p}_{1}}^{2}+2{p}_{1}{p}_{2}}\end{array}\right.$，
解得${p}_{1}=\frac{2}{3}$，p₂=$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查概率的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意相互獨立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式的合理運用．