Question

13．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=$\frac{{n}^{2}}{2}$-n
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）數(shù)列{a_n}有沒有最小項？若有，求出這個最小項；若沒有，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）當n=1時，a₁=$\frac{1}{2}$-1=-$\frac{1}{2}$；當n≥2時，作差可得na_n=$\frac{{n}^{2}}{2}$-n-（$\frac{（n-1）^{2}}{2}$-（n-1））=n-$\frac{3}{2}$，從而求通項公式；
（2）由a_n=1-$\frac{3}{2n}$討論可知a₁=-$\frac{1}{2}$，當n≥2時，a_n=1-$\frac{3}{2n}$＞0；從而確定最小值．

解答 解：（1）當n=1時，a₁=$\frac{1}{2}$-1=-$\frac{1}{2}$；
當n≥2時，a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1=$\frac{（n-1）^{2}}{2}$-（n-1），
a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=$\frac{{n}^{2}}{2}$-n，
作差可得，na_n=$\frac{{n}^{2}}{2}$-n-（$\frac{（n-1）^{2}}{2}$-（n-1））=n-$\frac{3}{2}$，
故a_n=1-$\frac{3}{2n}$，
a₁=-$\frac{1}{2}$也滿足上式；
故a_n=1-$\frac{3}{2n}$；
（2）∵a_n=1-$\frac{3}{2n}$，
∴當n=1時，a₁=-$\frac{1}{2}$，
當n≥2時，a_n=1-$\frac{3}{2n}$＞0；
故第一項是數(shù)列的最小項．

點評 本題考查了分類討論的思想應用及數(shù)列的性質的判斷與應用．