Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的邊長(zhǎng)為a，E、F分別是棱A₁B₁、CD的中點(diǎn)．
（1）證明：截面C₁EAF⊥平面ABC₁．
（2）求點(diǎn)B到截面C₁EAF的距離．

Answer 1

分析：（1）連接EF、AC₁和BC₁，推出直線B₁C⊥平面ABC₁，EF⊥平面ABC₁，即可證明：截面C₁EAF⊥平面ABC₁．
（2）在平面ABC₁內(nèi)，過B作BH，使BH⊥AC₁，H為垂足，利用面積相等求出點(diǎn)B到截面C₁EAF的距離．

解答：（1）證明：連接EF、AC₁和BC₁，易知四邊形EB₁CF是平行四邊形，
從而EF∥B₁C，直線B₁C⊥BC₁且B₁C⊥AB，
則直線B₁C⊥平面ABC₁，得EF⊥平面ABC₁．
而EF?平面C₁EAF，得平面C₁EAF⊥平面ABC₁．
（2）解：在平面ABC₁內(nèi)，
過B作BH，使BH⊥AC₁，H為垂足，
則BH的長(zhǎng)就是點(diǎn)B到平面C₁EAF的距離，
在直角三角形中，
BH=

AB•BC1

AC1

=

a 2 a

3 a

=

6 a

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的判定，點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算，考查計(jì)算能力，邏輯思維能力，是中檔題．