【題目】一個三棱錐是正三棱錐的充要條件是（ ）

A.底面是正三角形，三個側面是全等的等腰三角形

B.各個面都是正三角形

C.三個側面是全等的等腰三角形

D.頂點在底面上的射影為重心

【答案】A

【解析】

利用正三棱錐和充要條件的定義逐一分析判斷每一個選項得解.

A．根據(jù)正三棱錐的定義可知，滿足側面是全等的等腰三角形，底面是正三角形的三棱錐是正三棱錐．正三棱錐的底面是正三角形，三個側面是全等的等腰三角形，所以一個三棱錐是正三棱錐的充要條件是底面是正三角形，三個側面是全等的等腰三角形，所以該選項符合題意；

B. 各個面都是正三角形，則三棱錐是正三棱錐，所以各個面都是正三角形是三棱錐為正三棱錐的充分條件；如果三棱錐是正三棱錐，則各個面不一定都是正三角形，所以各個面都是正三角形是三棱錐為正三棱錐的非必要條件，故該選項錯誤.

C. 三個側面是全等的等腰三角形不一定是正三棱錐，如圖所示，VA=VC=BC=AB，AC=VB時，不一定是正三棱錐，故該選項錯誤；

D. 頂點在底面上的射影為重心，設底面為直角三角形,其重心為,過點作平面ABC的垂線，連接VA,VB,VC得到三棱錐V-ABC,顯然三棱錐V-ABC不是正三棱錐，所以該選項錯誤.

故選：A

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A.B.

C.D.

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