Question

1．設(shè)直線l的方程為（a+1）x+y+2-a=0（a∈R）．
（1）若l在兩坐標(biāo)軸上截距相等，求l的方程；
（2）若l不經(jīng)過第二象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）無論a為何實(shí)數(shù)值，直線l恒過定點(diǎn)M．求定點(diǎn)M．

Answer 1

分析 （1）先求出直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距，再利用 l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等 建立方程，解方程求出a的值，從而得到所求的直線l方程．
（2）把直線l的方程可化為 y=-（a+1）x+a-2，由題意得$\left\{\begin{array}{l}{-（a+1）≥0}\\{a-2≤0}\end{array}\right.$，解不等式組求得a的范圍．
（3）通過變量分離法得到兩條相關(guān)的曲線方程，聯(lián)列方程組得到定點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）令x=0，得y=a-2． 
令y=0，得x=$\frac{a-2}{a+1}$（a≠-1）．
∵l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，
∴a-2=$\frac{a-2}{a+1}$，解之，得a=2或a=0．
∴所求的直線l方程為3x+y=0或x+y+2=0．
（2）直線l的方程可化為 y=-（a+1）x+a-2．
∵l不過第二象限，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-（a+1）≥0}\\{a-2≤0}\end{array}\right.$，
∴a≤-1．
∴a的取值范圍為（-∞，-1]．
（3）∵（a+1）x+y-2-a=0（a∈R），
∴a（x-1）+（x+y-2）=0．
令$\left\{\begin{array}{l}{x-1=0}\\{x+y-2=0}\end{array}\right.$，
得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$．
∴直線l：（a+1）x+y+2-a=0（a∈R）必過定點(diǎn)（1，-3）．

點(diǎn)評 本題考查直線在坐標(biāo)軸上的截距的定義，用待定系數(shù)法求直線的方程，以及確定直線位置的幾何要素．直線過定點(diǎn)問題，可以用參變量分離法，還可以用特殊值代入法．