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【題目】對于定義域為D的函數y=fx,如果存在區(qū)間[m,n]D,同時滿足:

①fx[m,n]內是單調函數;

②當定義域是[m,n]時,fx的值域也是[m,n].則稱[m,n]是該函數的“和諧區(qū)間”.

1證明:[0,1]是函數y=fx=x2的一個“和諧區(qū)間”.

2求證:函數不存在“和諧區(qū)間”.

3已知:函數aR,a0有“和諧區(qū)間”[m,n],當a變化時,求出n﹣m的最大值.

【答案】1證明見解析;2證明見解析;3

【解析】

試題分析:1根據二次函數的性質,在區(qū)間上單調遞增,且值域也為滿足“和諧區(qū)間”的定義,即可得到結論;2該問題是一個確定性問題,從正面證明有一定的難度,故可采用反證法來進行證明;3是已知函數定義域的子集,我們可以用表示出的取值,轉化為二次函數的最值問題后,根據二次函數的性質,可以得到答案.

試題解析:1y=x2在區(qū)間[0,1]上單調遞增.

又f0=0,f1=1,

值域為[0,1],

區(qū)間[0,1]是y=fx=x2的一個“和諧區(qū)間”.

2[m,n]是已知函數定義域的子集.

故函數[m,n]上單調遞增.

[m,n]是已知函數的“和諧區(qū)間”,則

故m、n是方程的同號的相異實數根.

x2﹣3x+5=0無實數根,

函數不存在“和諧區(qū)間”.

3[m,n]是已知函數定義域的子集.

x0,

故函數[m,n]上單調遞增.

[m,n]是已知函數的“和諧區(qū)間”,則

故m、n是方程,即的同號的相異實數根.

m,n同號,只須,即a1或a﹣3時,

已知函數有“和諧區(qū)間”[m,n],

當a=3時,n﹣m取最大值

練習冊系列答案
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①函數存在“線性覆蓋函數”;

②對于給定的函數,其“線性覆蓋函數”可能不存在,也可能有無數個;

為函數的一個“線性覆蓋函數”;

④若為函數的一個“線性覆蓋函數”,則

其中所有正確結論的序號是___________

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科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】已知函數,且).

(Ⅰ)求函數的單調區(qū)間;

(Ⅱ)求函數上的最大值.

【答案】(Ⅰ)的單調增區(qū)間為,單調減區(qū)間為.(Ⅱ)當時, ;當時, .

【解析】試題分析】(I)利用的二階導數來研究求得函數的單調區(qū)間.(II) 由(Ⅰ)得上單調遞減,在上單調遞增,由此可知.利用導數和對分類討論求得函數在不同取值時的最大值.

試題解析】

(Ⅰ),

,則.

,∴上單調遞增,

從而得上單調遞增,又∵,

∴當時, ,當時,

因此, 的單調增區(qū)間為,單調減區(qū)間為.

(Ⅱ)由(Ⅰ)得上單調遞減,在上單調遞增,

由此可知.

, ,

.

,

.

∵當時, ,∴上單調遞增.

又∵,∴當時, ;當時, .

①當時, ,即,這時, ;

②當時, ,即,這時, .

綜上, 上的最大值為:當時, ;

時, .

[點睛]本小題主要考查函數的單調性,考查利用導數求最大值. 與函數零點有關的參數范圍問題,往往利用導數研究函數的單調區(qū)間和極值點,并結合特殊點,從而判斷函數的大致圖像,討論其圖象與軸的位置關系,進而確定參數的取值范圍;或通過對方程等價變形轉化為兩個函數圖象的交點問題.

型】解答
束】
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在直角坐標系中,圓的普通方程為. 在以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸的極坐標系中,直線的極坐標方程為 .

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