Question

已知大西北某荒漠上A、B兩點(diǎn)相距2km，現(xiàn)準(zhǔn)備在荒漠上開墾出一片以AB為一條對(duì)角線的平行四邊形區(qū)域建成農(nóng)藝園，按照規(guī)劃，圍墻總長(zhǎng)為8km．
（1）試求四邊形另兩個(gè)頂點(diǎn)的軌跡方程；
（2）問農(nóng)藝園的最大面積能達(dá)到多少？
（3）該荒漠上有一條直線型小溪l剛好通過點(diǎn)A，且l與AB成30°角，現(xiàn)要對(duì)整條水溝進(jìn)行加固改造，但考慮到今后農(nóng)藝園的水溝要重新設(shè)計(jì)改造，因此，對(duì)水溝可能被農(nóng)藝園圍進(jìn)的部分暫不加固，則暫不加固的部分有多長(zhǎng)？

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）以AB為x軸、以AB的中垂線直角坐標(biāo)系，設(shè)四邊形的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是（x，y），由題意得|CA|+|CB|=4＞|AB|=2，則動(dòng)點(diǎn)軌跡為橢圓，由條件求出橢圓方程；
（2）由圖和三角形的面積公式求出農(nóng)藝園的面積S=2S_△ABC=2|y_C|，在由橢圓的范圍求出農(nóng)藝園的最大面積；
（3）將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為：直線l與橢圓

x2

4

+

y2

3

=1相交求弦長(zhǎng)問題，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），再聯(lián)立直線方程和橢圓方程消去Y后，由根與系數(shù)的關(guān)系、以及弦長(zhǎng)公式進(jìn)行求解．

解答： 解：（1）以AB為x軸，以AB的中垂線直角坐標(biāo)系，如右圖：
設(shè)四邊形的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是（x，y），則D（-x，-y）且A（-1，0），B（1，0），
由題意得，|CA|+|CB|=4＞|AB|=2，
所以點(diǎn)C軌跡為橢圓，且a=2，c=1，b=

3

，
四邊形另兩個(gè)頂點(diǎn)的軌跡方程是

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）由圖得，農(nóng)藝園的最大面積S=2S_△ABC=2×

1

2

|AB||y_C|=2|y_C|，
因?yàn)閨y_C|≤

3

，則2|y_C|≤2

3

，
所以農(nóng)藝園的最大面積能達(dá)到2

3

km²；
（3）因?yàn)橹本�型小溪l剛好通過點(diǎn)A，且l與AB成30°角，所以直線l的方程為：y=

3

3

(x+1)，
設(shè)直線l與橢圓

x2

4

+

y2

3

=1相交于點(diǎn)P、Q兩點(diǎn)，則水溝可能被農(nóng)藝園圍進(jìn)的部分為PQ，
設(shè)設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由

y= 3 3 (x+1) x2 4 + y2 3 =1

得，13x²+8x-32=0，
所以x₁+x₂=-

8

13

，x₁x₂=-

32

13

，
則|PQ|=

(1+ 1 3 )[(x1+x2)2-4x1x2]

=

4 3 [(- 8 13 )2+4× 32 13 ]

=

48

13

（km），
所以暫不加固的部分為

48

13

km．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線在實(shí)際生活中的應(yīng)用，涉及橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系：弦長(zhǎng)公式、韋達(dá)定理等應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題、仔細(xì)解答，題目新穎，體現(xiàn)數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的關(guān)系．