Question

已知函數(shù)．

（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）若函數(shù)在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求正實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）設(shè)函數(shù)，若在上至少存在一點(diǎn)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值、恒成立問(wèn)題等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力，考查學(xué)生的分類討論思想、函數(shù)思想.第一問(wèn)，對(duì)求導(dǎo)，將切點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入得到切線的斜率，再將切點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入到中，得到切點(diǎn)的縱坐標(biāo)，利用點(diǎn)斜式得到切線的方程；第二問(wèn)，在定義域內(nèi)是增函數(shù)，只需在恒成立，對(duì)求導(dǎo)，由于分母恒正，只需分子在恒成立，設(shè)函數(shù)，利用拋物線的性質(zhì)求出，令即可，解出P的值；第三問(wèn)，先通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性求出的值域，通過(guò)對(duì)P的討論研究的單調(diào)性，求出的值域，看是否有值大于的最小值為2.

（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，．

，曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為．

從而曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．…4分

（2）．

令，要使在定義域內(nèi)是增函數(shù)，只需在內(nèi)恒成立．

由題意，的圖象為開口向上的拋物線，對(duì)稱軸方程為，∴， 只需，即時(shí)，

∴在內(nèi)為增函數(shù)，正實(shí)數(shù)的取值范圍是．……9分

（3）∵在上是減函數(shù)，

∴時(shí)，；時(shí)，，即，

①當(dāng)時(shí)，，其圖象為開口向下的拋物線，對(duì)稱軸在軸的左側(cè)，且，所以在內(nèi)是減函數(shù)．

當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719405917158532/SYS201411171941224693475180_DA/SYS201411171941224693475180_DA.052.png">，所以，，

此時(shí)，在內(nèi)是減函數(shù)．

故當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，不合題意；

②當(dāng)時(shí)，由，所以．

又由（2）知當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，

∴，不合題意；

③當(dāng)時(shí)，由（2）知在上是增函數(shù)，，

又在上是減函數(shù)，故只需，，

而，，

即，解得，

所以實(shí)數(shù)的取值范圍是． 14分

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值、恒成立問(wèn)題.