Question

18．已知命題A：方程$\frac{y^2}{5-t}+\frac{x^2}{t-1}=1$表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓；命題B：實(shí)數(shù)t使得不等式t²-3t-4＜0成立．
（1）若t=2時，求命題A中的橢圓的離心率；
（2）求命題A是命題B的什么條件．

Answer 1

分析 （1）將t=2代入方程，求出a，b，c的值，從而求出離心率即可；（2）分別求出命題A，B成立的充要條件，根據(jù)集合的包含關(guān)系判斷即可．

解答 解：（1）當(dāng)t=2時，橢圓方程為$\frac{y^2}{3}+\frac{x^2}{1}=1$
得a²=3，b²=1，c²=2
故$a=\sqrt{3}$，$c=\sqrt{2}$，得$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$
（2）命題A成立條件為$\left\{\begin{array}{l}5-t＞0\\ t-1＞0\\ 5-t＞t-1\end{array}\right.$得1＜t＜3
命題B成立條件為-1＜t＜4
由此可得A⇒B，即A是B的充分不必要條件．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的性質(zhì)，考查充分必要條件，是一道基礎(chǔ)題．