Question

7．△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且c=2，b=$\sqrt{2}$a，則△ABC的面積的最大值為（　�。�

• A． 2$\sqrt{2}$
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． 8
• D． 12

Answer 1

分析 先利用余弦定理求出cosC的值然后利用三角形面積公式可知S=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a²sinC，然后化簡變形求出S的最大值，注意取最大值時a的值．

解答 解：由公式c²=a²+b²-2abcosC和c=2，b=$\sqrt{2}$a得
4=a²+2a²-2$\sqrt{2}$a²cosC
可推出cosC=$\frac{3{a}^{2}-4}{2\sqrt{2}{a}^{2}}$
又由公式S面積=$\frac{1}{2}$absinC和b=$\sqrt{2}$a 得
S=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a²sinC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$•$\sqrt{\frac{-{a}^{4}+24{a}^{2}-16}{8}}$=$\frac{1}{4}$$\sqrt{-（{a}^{2}-12）^{2}+128}$
當a²=12時，S面積取最大值2$\sqrt{2}$
三角形三邊a+b＞c，b-a＜c
所以得2$\sqrt{2}$+2＞a＞2$\sqrt{2}$-2，所以a=2$\sqrt{3}$．
故選：A．

點評 本題主要考查了三角形中的幾何計算，同時考查了余弦定理和二次函數(shù)的最值等有關(guān)基礎(chǔ)知識，屬于中檔題．