Question

15．若圓x²+y²+2x-4y+1=0上的任意一點(diǎn)關(guān)于直線2ax-by+2=0（a，b∈R⁺）的對(duì)稱點(diǎn)仍在圓上，則$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$最小值為$3+2\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由題意可得直線2ax-by+2=0過圓心（-1，2），即a+b=1，再根據(jù)則$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$=（$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$）（a+b）=3+$\frac{2a}$+$\frac{a}$，利用基本不等式求得它的最小值．

解答 解：∵圓x²+y²+2x-4y+1=0上的任意一點(diǎn)關(guān)于直線2ax-by+2=0的對(duì)稱點(diǎn)仍在圓上，
則直線2ax-by+2=0過圓心（-1，2），即a+b=1，
則$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$=（$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$）（a+b）=3+$\frac{2a}$+$\frac{a}$≥3+2$\sqrt{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{2a}$=$\frac{a}$時(shí)，取等號(hào)，
故答案為$3+2\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查圓的一般方程，圓關(guān)于直線對(duì)稱問題，屬于中檔題．