Question

14．設(shè)連續(xù)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，已知，若函數(shù)f（x）無零點(diǎn)，則f（x）＞0或f（x）＜0恒成立．
（1）用反證法證明：“若存在實(shí)數(shù)x₀，使得f（f（x₀））=x₀，則至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)a，使得f（a）=a”；
（2）若f（x）=e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$+x²-2cosx-mx-2，有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)x₀，使得f（f（x₀））=x₀，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)不存在實(shí)數(shù)a，使得f（a）=a，構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）-x，則F（x）無零點(diǎn)，F(xiàn)（x）＞0或F（x）＜0恒成立，結(jié)合條件，引出矛盾，即可得出結(jié)論；
（2）轉(zhuǎn)化為e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$+x²-2cosx-2≠（m+1）x，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：設(shè)不存在實(shí)數(shù)a，使得f（a）=a，構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）-x，則F（x）無零點(diǎn)，
∴F（x）＞0或F（x）＜0恒成立．
不妨設(shè)F（x）＞0恒成立，則f（x）＞x恒成立，
∴f（f（x））＞f（x）＞x恒成立，
∵存在實(shí)數(shù)x₀，使得f（f（x₀））=x₀，
∴x₀=f（f（x₀））＞f（x₀）＞x₀，矛盾，
故假設(shè)不成立，
∴至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)a，使得f（a）=a”；
（2）解：由（1）可知，存在一個(gè)實(shí)數(shù)a，使得f（a）=a
顯然f（0）=0，則x≠0，F(xiàn)（x）無零點(diǎn)，
即e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$+x²-2cosx-mx-2≠x（x≠0）
∴e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$+x²-2cosx-2≠（m+1）x，
設(shè)g（x）=e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$+x²-2cosx-2，則x＞0，g′（x）=e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$+2（x+sinx）≥2，
x＜0，g′（x）=e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$+2（x+sinx）＞2，
∴m+1≤2，∴m≤1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查反證法的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．