Question

16．已知函數(shù)f（x）=|x+7|+|x-1|，對任意實(shí)數(shù)x，不等式f（x）≥m恒成立．
（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）當(dāng)m取最大值時(shí)，解關(guān)于x的不等式：|x-3|-2x≤2m-12．

Answer 1

分析 （1）利用絕對值三角不等式求得f（x）的最小值，再根據(jù)f（x）≥m恒成立，可得m的范圍．
（2）原不等式即|x-3|≤2x+4，分類討論求得它的解集．

解答 解：（1）∵f（x）=|x+7|+|x-1|≥|x+7-（x-1）|=8，
不等式f（x）≥m恒成立，
可得8≥m，
即 m≤8．
（2）由（1）知m的最大值為8，
∴原不等式就是|x-3|-2x≤4，即|x-3|≤2x+4．
當(dāng)x＜3時(shí)，有3-x≤2x+4，
解得：x≥-$\frac{1}{3}$，
∴-$\frac{1}{3}$≤x＜3；
當(dāng)x≥3時(shí)，有x-3≤2x+4，
解得：x≥-7，
∴x≥3；
所以不等式的解集為{x|x≥-$\frac{1}{3}$}．

點(diǎn)評 本題主要考查絕對值三角不等式的應(yīng)用，絕對值不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．