Question

5．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n=a₁+$\frac{1}{2}$a₂+$\frac{1}{3}$a₃+…+$\frac{1}{n-1}$a_n-1（n＞1）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若a_n=1008，求n的值．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=a₁+$\frac{1}{2}$a₂+$\frac{1}{3}$a₃+…+$\frac{1}{n-1}$a_n-1+$\frac{1}{n}$a_n，與原式相減求得$\frac{{a}_{n}+1}{{a}_{n}}$=$\frac{n+1}{n}$，采用累乘法即可求得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）由（1）可知，將a_n=1008，代入即可求得n的值．

解答 解：（1）a_n=a₁+$\frac{1}{2}$a₂+$\frac{1}{3}$a₃+…+$\frac{1}{n-1}$a_n-1，
a_n+1=a₁+$\frac{1}{2}$a₂+$\frac{1}{3}$a₃+…+$\frac{1}{n-1}$a_n-1+$\frac{1}{n}$a_n，
兩式相減得：a_n+1-a_n=$\frac{1}{n}$a_n，整理得：$\frac{{a}_{n}+1}{{a}_{n}}$=$\frac{n+1}{n}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n}{n-1}$，$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$=$\frac{n-1}{n-2}$…$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{2}{1}$，
∴累乘得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$×$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$×…×$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{n}{1}$，
∴a_n=n，
求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=n；
（2）由（1）可知a_n=n，a_n=1008，
∴n=1008

點評 本題考查數(shù)列利用遞推公式求通項公式的方法，考查累乘法的運用，考查分析問題及解決問題的能力，屬于中檔題．