Question

1．直線x+y=k（k＞0）與圓x²+y²=4交于A，B兩點，若|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$|（O為原點），那么（　�。�

• A． k=2
• B． k=2$\sqrt{2}$
• C． k=$\sqrt{2}$
• D． k=4

Answer 1

分析 利用|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$|，可得OA⊥OB，OA=OB，可得出三角形AOB為等腰直角三角形，由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得到圓心坐標(biāo)與半徑R，可得出AB，求出AB的長，圓心到直線y=-x+k的距離為AB的一半，利用點到直線的距離公式列出關(guān)于k的方程，求出方程的解即可得到實數(shù)k的值．

解答 解：∵|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$|，
∴OA⊥OB，OA=OB，
∴△AOB為等腰直角三角形，
又圓心坐標(biāo)為（0，0），半徑R=2，
∴AB=$\sqrt{2}$R=2$\sqrt{2}$，
∴圓心到直線y=-x+k的距離d=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{|k|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴|k|=2，
∵k＞0
∴k=2．
故選：A．

點評 此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，涉及的知識有：等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，以及點到直線的距離公式，其中根據(jù)題意得出△AOB為等腰直角三角形是解本題的關(guān)鍵．