Question

對(duì)函數(shù)f（x），若存在區(qū)間M=[a，b]（a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，則稱區(qū)間M為函數(shù)f（x）的一個(gè)“穩(wěn)定區(qū)間”，給出下列四個(gè)函數(shù)：
（1）f（x）=e^x，（2）f（x）=x³，（3）f（x）=cos

π

2

x，（4）f（x）=lnx+1，
其中存在“穩(wěn)定區(qū)間”的函數(shù)有（　�。�

• A、（1）（2）
• B、（2）（3）
• C、（3）（4）
• D、（1）（4）

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：新定義,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：根據(jù)“穩(wěn)定區(qū)間”的定義，函數(shù)存在“穩(wěn)定區(qū)間”，只要舉出一個(gè)符合定義的區(qū)間M即可，但要說(shuō)明函數(shù)沒有“穩(wěn)定區(qū)間”，可以用反證明法來(lái)說(shuō)明．由此對(duì)四個(gè)函數(shù)逐一進(jìn)行判斷，即可得到答案．

解答： 解：（1）對(duì)于函數(shù)f（x）=e^x，在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，故有

ea=a eb=b

，
即方程e^x=x有兩個(gè)解，這與y=e^x和y=x的圖象沒有公共點(diǎn)相矛盾，故（1）不存在“穩(wěn)定區(qū)間”；
（2）對(duì)于f（x）=x³存在“穩(wěn)定區(qū)間”，如 x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x³∈[0，1]．
故（2）存在“穩(wěn)定區(qū)間”；
（3）對(duì)于f（x）=cos

π

2

x，存在“穩(wěn)定區(qū)間”，如 x∈[0，1]時(shí)，f（x）=cos

π

2

x∈[0，1]．
故（3）存在“穩(wěn)定區(qū)間”；
（4）對(duì)于 f（x）=lnx+1，若存在“穩(wěn)定區(qū)間”[a，b]，由于函數(shù)是定義域內(nèi)的增函數(shù)，
故有

lna+1=a lnb+1=b

，即方程lnx+1=x有兩個(gè)解，這與y=lnx+1和y=x的圖象相切相矛盾．
故（4）不存在“穩(wěn)定區(qū)間”．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的概念，在說(shuō)明一個(gè)函數(shù)沒有“穩(wěn)定區(qū)間”時(shí)，利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象結(jié)合反證法證明是解答本題的關(guān)鍵，是中檔題．