Question

15．如圖1所示，在△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，則AB²=BD•BC．類似有命題：在三棱錐A-BCD中，如圖2所示，AD⊥面ABC．若A在△BCD內的射影為O，E在BC上，且E，O，D在同一條直線上，則S_△ABC²=S_△BCO•S_△BCD，此命題是（　�。�

• A． 假命題
• B． 增加AB⊥AC的條件才是真命題
• C． 真命題
• D． 增加三棱錐A-BCD是正棱錐的條件才是真命題

Answer 1

分析 連接AE，證明AO⊥DE，AD⊥AE，由射影定理可得AE²=EO•ED，再結合三角形的面積公式可得結論．

解答 解：連接AE，
因為AD⊥面ABC，AE?面ABC，
所以AD⊥AE．
又AO⊥DE，
所以由射影定理可得AE²=EO•ED．
于是S_△ABC²=（$\frac{1}{2}$BC•AO）²=$\frac{1}{2}$BC•EO•$\frac{1}{2}$BC•MD=S_△BCO•S_△BCD．
故有S_△ABC²=S_△BCO•S_△BCD．
所以命題是一個真命題．
故選：C．

點評 本題考查類比推理及利用平面的性質證明空間的結論，考查空間想象能力，證明AE²=EO•ED是關鍵．