Question

18．某種產(chǎn)品的年銷售額y與該年廣告費(fèi)用支出x有關(guān)，現(xiàn)收集了4組觀測(cè)數(shù)據(jù)列于下表：

x（萬(wàn)元）	1	4	5	6
y（萬(wàn)元）	30	40	60	50

（1）已知這兩個(gè)變量滿足線性相關(guān)關(guān)系，求y與x之間的回歸方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}$x+$\stackrel{∧}{a}$
（2）計(jì)劃2016年的銷售額為100萬(wàn)元，請(qǐng)根據(jù)你得到的模型，預(yù)測(cè)該年廣告費(fèi)用支出應(yīng)為多少萬(wàn)元？
（線性回歸方程系數(shù)公式$\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}$$\overline{x}$，參考數(shù)據(jù)$\sum_{i=1}^4{{x_i}{y_i}=}790$）

Answer 1

分析 （2）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)先做出數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即樣本中心點(diǎn)，根據(jù)最小二乘法做出線性回歸方程的系數(shù)，寫(xiě)出線性回歸方程．
（2）把計(jì)劃2016年的銷售額為100萬(wàn)元，代入線性回歸方程，可得對(duì)應(yīng)的廣告費(fèi)用支出．

解答 解：（1）由題意，$\overline{x}$=4，$\overline{y}$=45，$\sum_{i=1}^4{{x_i}{y_i}=}790$，$\sum_{i=1}^{4}{{x}_{i}}^{2}$=78
∴$\stackrel{∧}$=$\frac{790-4×4×45}{78-4×{4}^{2}}$=5，$\stackrel{∧}{a}$=45-5×4=25，
∴回歸直線方程為$\stackrel{∧}{y}$=5x+25；
（2）由已知y=100時(shí)，5x+25=100，可得x=15萬(wàn)元．
答：（1）回歸直線方程為$\stackrel{∧}{y}$=5x+25；（2）預(yù)測(cè)該年廣告費(fèi)用支出應(yīng)為15萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求線性回歸方程，是一個(gè)運(yùn)算量比較大的問(wèn)題，解題時(shí)注意平均數(shù)的運(yùn)算不要出錯(cuò)，注意系數(shù)的求法，運(yùn)算時(shí)要細(xì)心，不然會(huì)前功盡棄．