Question

6．已知函數(shù)f（θ）=-sin²θ-4cosθ+4，g（θ）=m•cosθ
（1）對任意的θ∈[0，$\frac{π}{2}$），若f（θ）≥g（θ）恒成立，求m取值范圍．
（2）對θ∈[-π，π]，f（θ）=g（θ）有唯一實根，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）轉(zhuǎn)化不等式為cosθ與m的不等式，利用cosθ的范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求解m的范圍即可．
（2）利用方程的根的個數(shù)，推出cosθ的范圍，然后求解m的值．

解答 解：f（θ）=-（1-cos²θ）-4cosθ+4=cos²θ-4cosθ+3
（1）cos²θ-4cosθ+3≥mcosθ，
∵$θ∈[0，\frac{π}{2}）$，
∴0＜cosθ≤1，當(dāng)0＜cosθ≤1時，$m≤cosθ+\frac{3}{cosθ}-4$，
令cosθ=t，$h（t）=t+\frac{3}{t}-4$，t∈（0，1]單調(diào)遞減，
當(dāng)t=1時，h（t）_min=h（1）=0，
所以m≤h（t）_min=0；
所以m≤0．…．…（6分）
（2）cos²θ-4cosθ+3=mcosθ，
即在θ∈[-π，π]上有唯一的實根．
由（1）可知cosθ=1即θ=0時滿足題意．
代入方程得m=0，經(jīng)檢驗m=0符合題意．…（12分）

點評 本題考查函數(shù)的最值與方程的解的個數(shù)的關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．