Question

已知函數(shù)f（x）=a_n-1x²+（1-a_n）x+a_n-1，（x＞0，n≥2）
（1）若f（1）=0，a₁=1，求數(shù)列{a_n}的通項公式
（2）若a_n＞1，（n∈N^*），至少存在一個正數(shù)x，使f（x）≤0成立，
求證：…（n∈N^*）

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)f（1）=0，a₁=1，可得a_n=2a_n-1+1，變形得a_n+1=2（a_n-1+1），從而求出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）由韋達(dá)定理分析易知，方程f（x）=0有根則必有正根，從而只需△≥0即可，然后利用等比數(shù)列求和公式可得……，證得結(jié)論．
解答：解：（1）f（1）=a_n-1+1-a_n+a_n-1=0⇒a_n=2a_n-1+1⇒a_n+1=2（a_n-1+1）
∴a_n+1=2ⁿ⇒a_n=2ⁿ-1，（n∈N^*）
證明：（2）由韋達(dá)定理分析易知，方程f（x）=0有根則必有正根，∴只需△≥0即可
∴…
∴……
點評：本題主要考查了構(gòu)造法求數(shù)列的通項公式，同時考查了韋達(dá)定理的運(yùn)用和等比數(shù)列的求和，是一道數(shù)列與不等式綜合的題，有一定的難度．