Question

下列四個(gè)命題，其中正確的是（　　）
①已知向量

α

和

β

，則“

α

•

β

=0”的充要條件是“

α

=

0

或

β

=

0

”；
②已知數(shù)列{a_n}和{b_n}，則“

lim

n→∞

anbn=0”的充要條件是“

lim

n→∞

an=0或

lim

n→∞

bn=0”；
③已知z₁，z₂∈C，則“z₁•z₂=0”的充要條件是“z₁=0或z₂=0”；
④已知α，β∈R，則“sinα•cosβ=0”的充要條件是“α=kπ，（k∈Z）或β=

π

2

+kπ，(k∈Z)”

Answer 1

分析：根據(jù)向量垂直的充要條件，可以判斷①；舉出反例an=

1，n為奇數(shù) 0，n為偶數(shù)

，bn=

0，n為奇數(shù) 1，n為偶數(shù)

，可以判斷②；根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算法則，及復(fù)數(shù)相等的充要條件，可判斷③；根據(jù)三角函數(shù)的定義，可以判斷④

解答：解：①已知向量

α

和

β

，則“

α

•

β

=0”的充要條件是“

α

=

0

或

β

=

0

或

α

⊥

β

”，故①錯(cuò)誤；
②若數(shù)列an=

1，n為奇數(shù) 0，n為偶數(shù)

，bn=

0，n為奇數(shù) 1，n為偶數(shù)

，則“

lim

n→∞

anbn=0”但“

lim

n→∞

an=0與

lim

n→∞

bn=0”均不成立，故②錯(cuò)誤；
③已知z₁，z₂∈C，則“z₁•z₂=0”的充要條件是“z₁=0或z₂=0”，故③正確；
④已知α，β∈R，則“sinα•cosβ=0”的充要條件是“sinα=0或cosβ=0”，即“α=kπ，（k∈Z）或β=

π

2

+kπ，(k∈Z)”，故④正確；
故正確的命題有③④
故選D

點(diǎn)評：本題以命題的真假判斷為載體，考查了向量垂直，數(shù)列極限，復(fù)數(shù)相等，三角函數(shù)的定義及充要條件等知識(shí)點(diǎn)，難度中檔．