Question

20．設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，對任意的x∈R，都有f（x+4）=f（x），且當(dāng)x∈[-2，0]時，$f（x）=2-{（{\frac{1}{2}}）^x}$，若在區(qū)間（-2，6]內(nèi)關(guān)于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0（0＜a＜1）恰有三個不同的實數(shù)根，則a的取值范圍是（　　）

• A． $（{0，\frac{1}{2}}）$
• B． $（{0，\frac{{\sqrt{2}}}{4}}）$
• C． $（{\frac{{\sqrt{2}}}{4}，\frac{1}{2}}）$
• D． $（{\frac{1}{2}，1}）$

Answer 1

分析 由f（x+4）=f（x），推出函數(shù)的周期是4，根據(jù)函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，得到函數(shù)f（x）在一個周期內(nèi)的圖象，利用方程和函數(shù)之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點個數(shù)問題，利用數(shù)形結(jié)合確定滿足的條件即可得到結(jié)論．

解答 解：由f（x+4）=f（x），即函數(shù)f（x）的周期為4，
∵當(dāng)x∈[-2，0]時，$f（x）=2-{（{\frac{1}{2}}）^x}$=2-2^-x，
∴若x∈[0，2]，則-x∈[-2，0]，
∵f（x）是偶函數(shù)，
∴f（-x）=2-2^x=f（x），
即f（x）=2-2^x，x∈[0，2]，
由f（x）-log_a（x+2）=0得f（x）=log_a（x+2），
作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：
當(dāng)a＞1時，要使方程f（x）-log_a（x+2）=0恰有3個不同的實數(shù)根，
則等價為函數(shù)f（x）與g（x）=log_a（x+2）有3個不同的交點，
則滿足$\left\{\begin{array}{l}{g（2）＞f（2）}\\{g（6）＜f（6）}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{log}_{a}4＞2-4}\\{{log}_{a}8＜2-4}\end{array}\right.$，
解得：$\frac{\sqrt{2}}{4}$＜a＜$\frac{1}{2}$
故a的取值范圍是（$\frac{\sqrt{2}}{4}$，$\frac{1}{2}$），
故選：C．

點評 本題主要考查函數(shù)零點的個數(shù)判斷，利用函數(shù)和方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點個數(shù)問題，利用分段函數(shù)的表達(dá)式，作出函數(shù)f（x）的圖象是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．