Question

4．如圖，ABCD是矩形，AB=8，BC=4，AC與BD相交于O點(diǎn)，P是平面ABCD外一點(diǎn)，PO⊥面ABCD，PO=4，M是PC的中點(diǎn)，求二面角M-BD-C的正切值．

Answer 1

分析 以DA為x軸，DC為y軸，過D作平面ABCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角M-BD-C的正切值．

解答 解：以DA為x軸，DC為y軸，過D作平面ABCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則P（2，4，4），C（0，8，0），M（1，6，2），D（0，0，0），B（4，8，0），
$\overrightarrow{DM}$=（1，6，2），$\overrightarrow{DB}$=（4，8，0），
設(shè)平面BDM的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DM}=x+6y+2z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DB}=4x+8y=0}\end{array}\right.$，取x=2，得$\overrightarrow{m}$=（2，-1，2），
平面BDC的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
設(shè)二面角M-BD-C的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{3}$，
∴sinθ=$\sqrt{1-（\frac{2}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$=$\frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
∴二面角M-BD-C的正切值為$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查二面角的正切值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．