Question

【題目】如圖，三棱柱中， ， ， 分別為棱的中點(diǎn).

（1）在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作平面交于點(diǎn)，并寫出作圖步驟，但不要求證明.

（2）若側(cè)面側(cè)面，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）

【解析】試題分析：（1）證線面平行則需在面內(nèi)找一線與之平行即可平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連結(jié)，在中，作交于點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則為所求作直線.（2）根據(jù)圖形分別以的方向?yàn)?/span>軸， 軸， 軸的正方向，然后寫出的坐標(biāo)，求出面得法向量m，根據(jù)即可求得結(jié)果.

試題解析：

（1）如圖，在平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連結(jié)，在中，作交于點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則為所求作直線.

（2）連結(jié)，∵，∴為正三角形.

∵為的中點(diǎn)，∴，

又∵側(cè)面側(cè)面，且面面，

平面，∴平面，

在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，

分別以的方向?yàn)?/span>軸， 軸， 軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則， .

∵為的中點(diǎn)，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，

∴.

∵，∴，∴，

設(shè)平面的法向量為，

由得，

令，得，所以平面的一個(gè)法向量為.

設(shè)直線與平面所成角為，

則，

即直線與平面所成角的正弦值為.