Question

4．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)P在橢圓上，且$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$=0，|F₁F₂|=4，|PF₁|=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）經(jīng)過點(diǎn)P（3，0）的直線l和橢圓C交于A，B兩個(gè)不同的點(diǎn)，設(shè)AB的中點(diǎn)為Q（x₀，y₀），Q（x₀，y₀），求x₀+y₀的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由2c=4，c=2，根據(jù)勾股定理可知丨PF₂丨=$\frac{9\sqrt{5}}{5}$，由2a=丨PF₁丨+丨PF₂丨，求得a=$\sqrt{5}$，根據(jù)橢圓的性質(zhì)b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$，求得橢圓方程；
（2）分類直線與x軸重合時(shí)，Q（x₀，y₀），此時(shí)x₀+y₀=0，當(dāng)直線與x軸不重合，設(shè)直線方程，將直線方程代入橢圓方程，△＞0，求得m的取值范圍，根據(jù)韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，y₀=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=$\frac{-3m}{{m}^{2}+5}$，代入求得μ=x₀+y₀=$\frac{3t}{{t}^{2}-10t+30}$，根據(jù)t的取值范圍，構(gòu)造輔助函數(shù)，根據(jù)函數(shù)圖形求得μ=x₀+y₀的取值范圍．

解答 解：（1）由2c=4，c=2，
由勾股定理丨PF₂丨=$\sqrt{丨P{F}_{1}{丨}^{2}+丨{{F}_{1}{F}_{2}丨}^{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{5}+16}$=$\frac{9\sqrt{5}}{5}$，
由橢圓定義2a=丨PF₁丨+丨PF₂丨=$\frac{\sqrt{5}}{5}$+$\frac{9\sqrt{5}}{5}$=2$\sqrt{5}$，a=$\sqrt{5}$，
b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
故橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{5}+{y}^{2}=1$；
（2）當(dāng)直線與x軸重合時(shí)，Q（x₀，y₀），此時(shí)x₀+y₀=0，
若直線與x軸不重合，設(shè)l的方程為x=my+3，與橢圓聯(lián)立得（m²+5）y²+6my+4=0，
由△=20m²-80m＞0，解得：m＞2或m＜-2，
由韋達(dá)定理：y₁+y₂=$\frac{-6m}{{m}^{2}+5}$，
y₀=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=$\frac{-3m}{{m}^{2}+5}$，
μ=x₀+y₀=my₀+3+y₀=（m+1）y₀+3=$\frac{15-3m}{{m}^{2}+5}$=$\frac{3t}{{t}^{2}-10t+30}$，
其中t=5-m，t∈（-∞，3）∪（7，+∞）+
當(dāng)t=0時(shí)，μ=0，
當(dāng)t≠0時(shí)，μ=$\frac{3t}{{t}^{2}-10t+30}$=$\frac{3}{t+\frac{30}{t}-10}$，
設(shè)f（t）=t+$\frac{30}{t}$-10，其中t∈（-∞，0）∪（0，3）∪（7，+∞），函數(shù)圖象知：

f（t）∈（$\frac{9}{7}$，+∞）∪（-∞，-10-2$\sqrt{30}$），從而μ=$\frac{3}{f（t）}$∈[$\frac{15-3\sqrt{30}}{10}$，0）∪（0，$\frac{7}{3}$），
綜上μ=x₀+y₀∈[$\frac{15-3\sqrt{30}}{10}$，$\frac{7}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，構(gòu)造法求函數(shù)的取值范圍，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．