Question

17．若函數(shù)f（x）=lnx-x-mx在區(qū)間[1，e²]內(nèi)有唯一的零點，則實數(shù)m的取值范圍是[-1，$\frac{2}{{e}^{2}}$-1）∪{$\frac{1}{e}$-1}．

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）=lnx-x-mx在區(qū)間[1，e²]內(nèi)有唯一的零點，就是方程lnx-x-mx=0在區(qū)間[1，e²]上有唯一實數(shù)解，只需m=$\frac{lnx}{x}$-1有唯一實數(shù)解，令g（x）=$\frac{lnx}{x}$-1，（x＞0），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出m的范圍即可．

解答 解：函數(shù)f（x）=lnx-x-mx在區(qū)間[1，e²]內(nèi)有唯一的零點，
得-x+lnx=mx，又x＞0，所以m=$\frac{lnx}{x}$-1，
要使方程lnx-x-mx=0在區(qū)間[1，e²]上有唯一實數(shù)解，
只需m=$\frac{lnx}{x}$-1有唯一實數(shù)解，
令g（x）=$\frac{lnx}{x}$-1，（x＞0），∴g′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
由g′（x）＞0，得0＜x＜e；g′（x）＜0得x＞e，
∴g（x）在區(qū)間[1，e]上是增函數(shù)，在區(qū)間[e，e²]上是減函數(shù)．
g（1）=-1，g（e）=$\frac{1}{e}$-1，g（e²）=$\frac{2}{{e}^{2}}$-1，
故-1≤m＜$\frac{2}{{e}^{2}}$-1或m=$\frac{1}{e}$-1 
故答案為：[-1，$\frac{2}{{e}^{2}}$-1）∪{$\frac{1}{e}$-1}．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，是一道中檔題．