已知F1,F(xiàn)2是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的兩個焦點,過F2的弦AB,若△ABF1的周長為16,離心率e=
3
2

(Ⅰ)求該橢圓的標準方程及其焦點坐標;
(Ⅱ)若A1,A2是橢圓長軸上的兩個頂點,P是橢圓上不同于A1,A2的任意一點.求證:直線A1P與直線A2P的斜率之積是定值.
分析:(I)根據(jù)橢圓的定義,得△ABF1的周長為4a=16,解之得a=4.再根據(jù)離心率e=
3
2
算出c=2
3
,從而得出b的值,可得該橢圓的標準方程及其焦點坐標;
(II)設(shè)P(x0,y0),利用直線的斜率公式算出A1P、A2P的斜率關(guān)于x0、y0的表達式,結(jié)合點P在橢圓上利用橢圓方程進行化簡,可得直線A1P與直線A2P的斜率之積等于定值-
1
4
解答:解:(Ⅰ)設(shè)F1,F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點,
∵弦AB經(jīng)過橢圓的右焦點F2,
∴△ABF1的周長為|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=16,解之得a=4.
又∵橢圓的離心率e=
3
2
,∴
c
a
=
3
2
,解得c=2
3
,
由此可得b=
a2-c2
=2

故該橢圓的標準方程為:
x2
16
+
y2
4
=1
,焦點坐標為:F1(-2
3
,0),F2(2
3
,0)
;
(Ⅱ)設(shè)P(x0,y0),則A1(-4,0),A2(4,0),
可得直線A1P與直線A2P的斜率分別為kA1P=
y0
x0+4
,kA2P=
y0
x0-4
(x≠±4)

kA1PkA2P=
y02
x02-16
,
∵點P為橢圓上的點,滿足
x02
16
+
y02
4
=1
,可得y02=4(1-
x02
16
)=4-
x02
4

kA1PkA2P=
4-
x02
4
x02-16
=-
1
4
,即直線A1P與直線A2P的斜率之積等于定值-
1
4
點評:本題給出橢圓滿足的條件,求橢圓的方程并證明兩條直線斜率之積等于常數(shù).著重考查了橢圓的定義與標準方程、直線的斜率公式等知識,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知F1,F(xiàn)2是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的兩個焦點,若在橢圓上存在一點P,使∠F1PF2=120°,則橢圓離心率的范圍是
[
3
2
,1
[
3
2
,1

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知F1、F2是橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0)
的兩個焦點,若橢圓上存在點P使得∠F1PF2=120°,求橢圓離心率的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知F1、F2是橢圓的兩個焦點.△F1AB為等邊三角形,A,B是橢圓上兩點且AB過F2,則橢圓離心率是
3
3
3
3

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知 F1、F2是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的兩個焦點,橢圓上存在一點P,使得SF1PF2=
3
b2
,則該橢圓的離心率的取值范圍是
[
3
2
,1)
[
3
2
,1)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知F1,F(xiàn)2是橢圓
x2
2
+y2=1
的兩個焦點,點P是橢圓上一個動點,那么|
PF1
+
PF2
|
的最小值是(  )

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