Question

10．已知坐標平面上三點A（2，0），B（0，2），C（sinα，cosα）．
（1）若${（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}）^2}=7$（O為坐標原點），求向量$\overrightarrow{OB}$與$\overrightarrow{OC}$夾角的大�。�
（2）若$\overrightarrow{AC}⊥\overrightarrow{BC}$，求sin2α的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，求出$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$的坐標，再由${（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}）^2}=7$計算可得（2+sinα）²+cos²α=7，解可得sinα、cosα的值，由向量數(shù)量積的計算公式計算可得答案；
（2）根據(jù)題意，分析可得若$\overrightarrow{AC}⊥\overrightarrow{BC}$，則$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=0，由數(shù)量積的計算公式可得cosα+sinα=$\frac{1}{2}$，由同角三角函數(shù)的基本關系式計算可得答案．

解答 解：（1）根據(jù)題意，A（2，0），B（0，2），C（sinα，cosα）；
則$\overrightarrow{OA}$=（2，0），$\overrightarrow{OC}$=（sinα，cosα），
則$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$=（2+sinα，cosα）；
又由${（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}）^2}=7$，則有（2+sinα）²+cos²α=7，
解可得$sinα=\frac{1}{2}$，
則有$cosα=±\frac{{\sqrt{3}}}{2}$；
設$\overrightarrow{OB}$與$\overrightarrow{OC}$的夾角為θ，
則$cosθ=\frac{{\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}}}{{|{\overrightarrow{OB}}||{\overrightarrow{OC}}|}}=\frac{2cosα}{2}=±\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
$\overrightarrow{OB}$與$\overrightarrow{OC}$的夾角為$\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$；
（2）$\overrightarrow{AC}$=（cosα-2，sinα），$\overrightarrow{BC}$=（cosα，sinα-2），
若$\overrightarrow{AC}⊥\overrightarrow{BC}$，則$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=0，
可得cosα+sinα=$\frac{1}{2}$，
則（cosα+sinα）=1+2sinαcosα=1+sin2α=$\frac{1}{4}$，
即$sin2α=-\frac{3}{4}$．

點評 本題考查三角函數(shù)與向量的數(shù)量積的關系，解題時注意角的范圍的應用并準確計算．