Question

8．已知點(diǎn)P和點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)相同，P的橫坐標(biāo)是Q的橫坐標(biāo)的3倍，P和Q的軌跡分別為雙曲線C₁和C₂，若C₁的漸近線方程為y=±$\sqrt{3}$x，則C₂的漸近線方程為y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x．

Answer 1

分析 設(shè)C₁的方程為y²-3x²=λ，利用坐標(biāo)間的關(guān)系，求出Q的軌跡方程，即可求出C₂的漸近線方程．

解答 解：∵若C₁的漸近線方程為y=±$\sqrt{3}$x，
∴設(shè)C₁的方程為y²-3x²=λ，
設(shè)Q（x，y），則P（x′，y′），
則$\left\{\begin{array}{l}{y=y′}\\{x′=3x}\end{array}\right.$，
則x=$\frac{1}{3}$x′，即Q（$\frac{1}{3}$x′，y′），
代入y²-3x²=λ，可得y²-3×$\frac{1}{9}$x²=λ，
即y²-$\frac{1}{3}$x²=λ，
由y²-$\frac{1}{3}$x²=λ=0得y²=$\frac{1}{3}$x²，即y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x
∴C₂的漸近線方程為y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x．
故答案為：y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線漸近線方程的計(jì)算，根據(jù)坐標(biāo)關(guān)系求出對(duì)應(yīng)的軌跡方程是解決本題的關(guān)鍵．