Question

17．如圖（1），在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，E，F(xiàn)分別為AB和CD的中點(diǎn)，且AB=EF=2，CD=6，M為EC中點(diǎn)，現(xiàn)將梯形ABCD沿EF所在直線(xiàn)折起，使平面EFCB⊥平面EFDA，如圖（2）所示，N是CD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：MN∥平面ADFE；
（Ⅱ）求四棱錐M-EFDA的體積．

Answer 1

分析 （I）連接ED，由中位線(xiàn)性質(zhì)得MN∥ED，故MN∥平面EFDA；
（II）由平面EFCB⊥平面EFDA可知CF⊥平面EFDA，由M為EC中點(diǎn)得棱錐M-EFDA的高為CF的一半．

解答 證明：（Ⅰ）連接ED，
∵M(jìn)，N分別是EC，CD的中點(diǎn)，
∴MN∥ED，又MN?平面EFDA，ED?平面EFDA
∴MN∥平面EFDA．
（Ⅱ）∵平面EFDA⊥平面EFCB，平面EFDA∩平面EFCB=EF，CF⊥EF，CF?平面EFCB，
∴CF⊥平面EFDA，
∵M(jìn)是EC的中點(diǎn)，
∴M到平面EFDA的距離h=$\frac{1}{2}$CF=$\frac{3}{2}$．
∴V_M-EFDA=$\frac{1}{3}{S}_{梯形EFDA}•h$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×（1+3）×2×\frac{3}{2}$=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線(xiàn)面平行的判定，面面垂直的性質(zhì)，棱錐的體積計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．