Question

若無(wú)窮數(shù)列滿足：①對(duì)任意，；②存在常數(shù)，對(duì)任意，，則稱數(shù)列為“數(shù)列”.

（Ⅰ）若數(shù)列的通項(xiàng)為，證明：數(shù)列為“數(shù)列”；

（Ⅱ）若數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且數(shù)列為“數(shù)列”，證明：對(duì)任意，；

（Ⅲ）若數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且數(shù)列為“數(shù)列”，證明：存在，數(shù)列為等差數(shù)列.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）詳見解析

【解析】

試題分析：（Ⅰ）用作差法證，用單調(diào)性證。（Ⅱ）用反證法證明。即假設(shè)存在正整數(shù)，使得。根據(jù)和結(jié)合放縮法推倒論證得出與已知各項(xiàng)均為正整數(shù)相矛盾，則說(shuō)明假設(shè)不成立即原命題成立。（Ⅲ）由（Ⅱ）知，需分和兩種情況討論，結(jié)合已知推理論證，根據(jù)等差的定義可證得存在 ，數(shù)列為等差數(shù)列.本題的關(guān)鍵是當(dāng)可變形得，再用累加法表示，即，根據(jù)進(jìn)行推理論證。

試題解析：（Ⅰ）證明：由，可得，，

所以，

所以對(duì)任意，．

又?jǐn)?shù)列為遞減數(shù)列，所以對(duì)任意，．

所以數(shù)列為“數(shù)列”． 5分

（Ⅱ）證明：假設(shè)存在正整數(shù)，使得．

由數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，可得．

由，可得．

且．

同理，

依此類推，可得，對(duì)任意，有．

因?yàn)?/span>為正整數(shù)，設(shè)，則.

在中，設(shè)，則．

與數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)矛盾．

所以，對(duì)任意，. 10分

（Ⅲ）因?yàn)閿?shù)列為“數(shù)列”，

所以，存在常數(shù)，對(duì)任意，．

設(shè)．

由（Ⅱ）可知，對(duì)任意，，

則．

若，則；若，則．

而時(shí)，有．

所以，，，，中最多有個(gè)大于或等于，

否則與矛盾．

所以，存在，對(duì)任意的，有．

所以，對(duì)任意，．

所以，存在，數(shù)列為等差數(shù)列. 14分

考點(diǎn)：新概念問(wèn)題。