Question

已知函數(shù)y=h（x）的圖象與函數(shù)y=a^x（a＞1）的圖象關(guān)于直線y=x對稱，f（x）=h（x+1）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）在區(qū)間[m，n]（m＞-1）上的值域為[log_a

p

m

，log_a

p

n

]，求實數(shù)p的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)g（x）=log_a（x²-3x+3），F(xiàn)（x）=a^{f（x）-g（x）}，其中a＞1．若w≥F（x）對?x∈（-1，+∞）恒成立，求實數(shù)w的取值范圍．

Answer 1

考點：指數(shù)函數(shù)綜合題

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由已知可得，f（x）=h（x+1）=log_a（x+1）；
（Ⅱ）由題意可得f（m）=log_a（m+1）=log_a

p

m

，f（n）=log_a（n+1）=log_a

p

n

；從而可得m，n是方程x²+x-p=0在（-1，0）∪（0，+∞）上有兩個不同的根，從而解出p；
（Ⅲ）化簡F（x）=a^{f（x）-g（x）}=

x+1

x2-3x+3

=

1

(x+1)+ 7 x+1 -5

，（x＞-1）；從而化恒成立問題為最值問題．

解答： 解：（Ⅰ）由已知可得，f（x）=h（x+1）=log_a（x+1）；
（Ⅱ）∵a＞1，
∴f（x）在（-1，+∞）上為增函數(shù)，
∴f（m）=log_a（m+1）=log_a

p

m

，
f（n）=log_a（n+1）=log_a

p

n

；
故m+1=

p

m

，n+1=

p

n

；
則m，n是方程x+1=

p

x

的兩個不同的根；
即m，n是方程x²+x-p=0在（-1，0）∪（0，+∞）上有兩個不同的根；
故

△=1+4p＞0 1-1-p＞0 - 1 2 ＞-1

解得，-

1

4

＜p＜0；
（Ⅲ）F（x）=a^{f（x）-g（x）}=

x+1

x2-3x+3

=

1

(x+1)+ 7 x+1 -5

，（x＞-1）；
∵（x+1）+

7

x+1

-5≥2

7

-5；
（當(dāng)且僅當(dāng)x=

7

-1時，等號成立）
∴

1

(x+1)+ 7 x+1 -5

∈（0，

2 7 +5

3

]，
則若使w≥F（x）對?x∈（-1，+∞）恒成立，
則w≥

2 7 +5

3

．

點評：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用及基本不等式的應(yīng)用，同時考查了恒成立問題，屬于難題．