Question

設(shè)命題p：函數(shù)y=（a-1）^x在R上單調(diào)遞增；命題q：當(dāng)1＜x＜3時(shí)，關(guān)于x的不等式x²-ax+4＞0恒成立．若p∨q為真命題，p∧q為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合命題的真假

專題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：先根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及基本不等式求出命題p，q下的a的取值范圍，再根據(jù)p∨q為真，p∧q為假得到p真q假，和p假q真兩種情況，求出每種情況下的a的取值范圍再求并集即可．

解答： 解：命題p：首先a＞1，a-1＞1，∴a＞2；
命題q：a＜

x2+4

x

=x+

4

x

，對(duì)于1＜x＜3時(shí)恒成立；
∵x+

4

x

≥4，x=2時(shí)取“=”，即函數(shù)x+

1

x

在（1，3）上的最小值為4；
∴a＜4；
若p∨q為真命題，p∧q為假命題，則p，q一真一假；
（1）p真q假時(shí)，a＞2，且a≥4，∴a≥4；
（2）p假q真時(shí)，1＜a≤2，且a＜4，∴1＜a≤2；
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為（1，2]∪[4，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，基本不等式：a+b≥2

ab

，a＞0，b＞0，以及p∨q，p∧q的真假和p，q真假的關(guān)系．