Question

已知點(diǎn)點(diǎn)分別是軸和軸上的動(dòng)點(diǎn)，且，動(dòng)點(diǎn)滿足，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為E.

（1）求曲線E的方程；

（2）點(diǎn)Q（1,a），M,N為曲線E上不同的三點(diǎn)，且，過M,N兩點(diǎn)分別作曲線E的切線，記兩切線的交點(diǎn)為，求的最小值.

 

Answer 1

(1);(2).

【解析】

試題分析：(1)設(shè),利用,用表示的坐標(biāo)，然后利用,得到的方程，得到點(diǎn)軌跡;

（2）解法一：利用曲線方程,求出點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)，，,通過聯(lián)立方程，得到的坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)，列出過點(diǎn)的切線方程，解出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后再求的最小值，

解法二：利用導(dǎo)數(shù)，列出過點(diǎn)的切線方程，解出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后結(jié)合,能夠得到關(guān)于點(diǎn)所滿足的方程，再求出的最小值.

試題解析：（1）【解析】
設(shè)

，由得 4分

（2）解法一：易知，設(shè)，，，

設(shè)的方程為

聯(lián)立方程消去，得，所以.

同理，設(shè)的方程為，. 6分

對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得，

所以拋物線在點(diǎn)處的切線斜率為，

所以切線的方程為，即.

同理，拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為. 8分

聯(lián)立兩條切線的方程

解得，，

所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.因此點(diǎn)在直線上. 10分

因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離，

所以，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立．

由，得，驗(yàn)證知符合題意.

所以當(dāng)時(shí)，有最小值. 12分

解法二：由題意，，設(shè)，，，

對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得，

所以拋物線在點(diǎn)處的切線斜率為，

所以切線的方程為，即.

同理，拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為.

聯(lián)立兩條切線的方程

解得，， 8分

又

由得

所以點(diǎn)在直線上 10分

因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離，

所以，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立．

有最小值. 12分

考點(diǎn)：1.軌跡方程；2.直線與曲線相交的綜合性問題.