已知點(diǎn)點(diǎn)分別是軸和軸上的動(dòng)點(diǎn),且,動(dòng)點(diǎn)滿足,設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為E.

(1)求曲線E的方程;

(2)點(diǎn)Q(1,a),M,N為曲線E上不同的三點(diǎn),且,過(guò)M,N兩點(diǎn)分別作曲線E的切線,記兩切線的交點(diǎn)為,求的最小值.

 

(1);(2).

【解析】

試題分析:(1)設(shè),利用,用表示的坐標(biāo),然后利用,得到的方程,得到點(diǎn)軌跡;

(2)解法一:利用曲線方程,求出點(diǎn)坐標(biāo),設(shè),,通過(guò)聯(lián)立方程,得到的坐標(biāo),利用導(dǎo)數(shù),列出過(guò)點(diǎn)的切線方程,解出點(diǎn)的坐標(biāo),然后再求的最小值,

解法二:利用導(dǎo)數(shù),列出過(guò)點(diǎn)的切線方程,解出點(diǎn)的坐標(biāo),然后結(jié)合,能夠得到關(guān)于點(diǎn)所滿足的方程,再求出的最小值.

試題解析:(1)【解析】
設(shè)

,由 4分

(2)解法一:易知,設(shè),,

設(shè)的方程為

聯(lián)立方程消去,得,所以.

同理,設(shè)的方程為,. 6分

對(duì)函數(shù)求導(dǎo),得

所以拋物線在點(diǎn)處的切線斜率為,

所以切線的方程為,即.

同理,拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為. 8分

聯(lián)立兩條切線的方程

解得,,

所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.因此點(diǎn)在直線上. 10分

因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離

所以,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立.

,得,驗(yàn)證知符合題意.

所以當(dāng)時(shí),有最小值. 12分

解法二:由題意,,設(shè),,

對(duì)函數(shù)求導(dǎo),得,

所以拋物線在點(diǎn)處的切線斜率為

所以切線的方程為,即.

同理,拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為.

聯(lián)立兩條切線的方程

解得,, 8分

所以點(diǎn)在直線上 10分

因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離,

所以,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立.

有最小值. 12分

考點(diǎn):1.軌跡方程;2.直線與曲線相交的綜合性問(wèn)題.

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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某市為“市中學(xué)生知識(shí)競(jìng)賽”進(jìn)行選拔性測(cè)試,且規(guī)定:成績(jī)大于或等于90分的有參賽資格,90分以下(不包括90分)的被淘汰.若有500人參加測(cè)試,學(xué)生成績(jī)的頻率分布直方圖如圖.

(

1)求獲得參賽資格的人數(shù);

(2)根據(jù)頻率直方圖,估算這500名學(xué)生測(cè)試的平均成績(jī);

(3)若知識(shí)競(jìng)賽分初賽和復(fù)賽,在初賽中每人最多有5次選題答題的機(jī)會(huì),累計(jì)答對(duì)3題或答錯(cuò)3題即終止,答對(duì)3題者方可參加復(fù)賽.已知參賽者甲答對(duì)每一個(gè)問(wèn)題的概率都相同,并且相互之間沒有影響.已知他連續(xù)兩次答錯(cuò)的概率為,求甲在初賽中答題個(gè)數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.

 

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已知集合,則( )

A. B. C. D.

 

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四個(gè)小動(dòng)物換座位,開始是鼠、猴、兔、貓分別坐、、號(hào)位上(如圖),第一次前后

排動(dòng)物互換座位,第二次左右列動(dòng)物互換座位,這樣交替進(jìn)行下去,那么第次互換座位后,小兔坐

在第 號(hào)座位上

A. B. C. D.

 

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已知集合,,則( )

A. B. C. D.

 

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如圖所示程序框圖中,輸出( )

A. B. C. D.

 

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如圖,在中,是邊上一點(diǎn),,則=_________.

 

 

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已知PQ與圓O相切于點(diǎn)A,直線PBC交圓于B、C兩點(diǎn),D是圓上一點(diǎn),且AB∥CD,DC的延長(zhǎng)線交PQ于點(diǎn)Q.

求證:

若AQ=2AP,AB=,BP=2,求QD.

 

 

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