Question

4．如圖，在Rt△ABC內(nèi)有一系列的正方形，它們的邊長(zhǎng)依次為a₁，a₂，…，a_n，…，若AB=a，BC=2a，則所有正方形的面積的和為$\frac{4}{5}{a}^{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意可知$\frac{AB}{BC}=\frac{1}{2}$，可得${a}_{1}=\frac{2}{3}a$，依次計(jì)算${a}_{2}=\frac{2}{3}{a}_{1}$，${a}_{3}=\frac{2}{3}{a}_{2}$…，不難發(fā)現(xiàn)：邊長(zhǎng)依次為a₁，a₂，…，a_n，…構(gòu)成是公比為$\frac{2}{3}$的等比數(shù)列，正方形的面積：依次S₁=$\frac{4}{9}{a}^{2}$，${S}_{2}=\frac{4}{9}{{a}_{1}}^{2}$…，不難發(fā)現(xiàn)：邊長(zhǎng)依次為a₁，a₂，…，a_n，…正方形的面積構(gòu)成是公比為$\frac{4}{9}$的等比數(shù)列．利用無(wú)窮等比數(shù)列的和公式可得所有正方形的面積的和．

解答 解：根據(jù)題意可知$\frac{AB}{BC}=\frac{1}{2}$，可得${a}_{1}=\frac{2}{3}a$，依次計(jì)算${a}_{2}=\frac{2}{3}{a}_{1}$，${a}_{3}=\frac{2}{3}{a}_{2}$…，是公比為$\frac{2}{3}$的等比數(shù)列，
正方形的面積：依次S₁=$\frac{4}{9}{a}^{2}$，${S}_{2}=\frac{4}{9}{{a}_{1}}^{2}$…，邊長(zhǎng)依次為a₁，a₂，…，a_n，正方形的面積構(gòu)成是公比為$\frac{4}{9}$的等比數(shù)列．
所有正方形的面積的和${S}_{n}=\frac{{S}_{1}}{1-q}=\frac{\frac{4}{9}{a}^{2}}{1-\frac{4}{9}}=\frac{4}{5}{a}^{2}$．
故答案為：$\frac{4}{5}{a}^{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了無(wú)窮等比數(shù)列的和公式的運(yùn)用．利用邊長(zhǎng)關(guān)系建立等式，找到公比是解題的關(guān)鍵．屬于中檔題．