Question

11．設(shè)F₁、F₂分別是橢圓$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1$的左、右焦點(diǎn)．若P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$的最大值為4．

Answer 1

分析 求得橢圓的a，b，c，可得兩焦點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出P（m，n），運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合幾何意義，可得P為橢圓長(zhǎng)軸的端點(diǎn)時(shí)，取得最大值．

解答 解：橢圓$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1$的a=$\sqrt{5}$，b=2，c=1，
可得F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），設(shè)P（m，n），
可得$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$=（m+1，n）•（m-1，n）
=m²+n²-1，表示橢圓上的點(diǎn)與O的距離的平方減1，
由橢圓的性質(zhì)可得，P為橢圓長(zhǎng)軸的端點(diǎn)，即（±$\sqrt{5}$，0），
取得最大值，且為5-1=4．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，運(yùn)用橢圓的性質(zhì)得到P為橢圓長(zhǎng)軸的端點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．